Учимся работать с общим уравнением прямой на плоскости и в пространстве

Общее уравнение прямой на плоскости

Прямая на плоскости может быть задана различными способами, одним из которых является общее уравнение прямой. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:

ax + by + c = 0

где a, b и c - это коэффициенты, которые могут быть любыми числами, кроме того, что a и b не могут быть одновременно равными нулю.

Общее уравнение прямой может быть использовано для нахождения координат точек, лежащих на этой прямой, а также для определения угла между двумя прямыми.

Примеры

Рассмотрим несколько примеров использования общего уравнения прямой на плоскости.

Пример 1

Найдем координаты точек, лежащих на прямой с уравнением 2x - 3y + 6 = 0.

Для этого подставим различные значения x и найдем соответствующие значения y:

Таким образом, точки, лежащие на прямой с уравнением 2x - 3y + 6 = 0, имеют координаты (0, 2), (3, 0) и (6, -2).

Пример 2

Найдем угол между прямыми с уравнениями 2x - 3y + 6 = 0 и 3x + 4y - 12 = 0.

Для этого найдем угол между нормалями к этим прямым:

Угол между нормалями можно найти по формуле:

cos α = (a1 * a2 + b1 * b2) / (sqrt(a1^2 + b1^2) * sqrt(a2^2 + b2^2))

где α - угол между нормалями, a1 и b1 - коэффициенты нормали к первой прямой, a2 и b2 - коэффициенты нормали ко второй прямой.

Подставим значения и получим:

cos α = (-6 + 12) / (sqrt(2^2 + (-3)^2) * sqrt(3^2 + 4^2)) = 6 / (sqrt(13) * 5)

Таким образом, угол между прямыми с уравнениями 2x - 3y + 6 = 0 и 3x + 4y - 12 = 0 равен:

α = arccos(6 / (sqrt(13) * 5)) ≈ 0.56 радиан

Выводы

Примеры решения задач на прямые на плоскости

Рассмотрим несколько примеров задач на прямые на плоскости и их решений.

Пример 1

Найти уравнение прямой, проходящей через точки A(2, 3) и B(4, 5).

Для нахождения уравнения прямой необходимо найти ее угловой коэффициент k и свободный член b. Угловой коэффициент можно найти по формуле:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1)

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.

Подставляя значения координат точек A и B, получаем:

k = (5 - 3) / (4 - 2) = 1

Свободный член можно найти, зная, что прямая проходит через точку A. Подставляя значения координат точки A и найденный угловой коэффициент, получаем:

b = y1 - k * x1 = 3 - 1 * 2 = 1

Таким образом, уравнение прямой имеет вид:

y = x + 1

Пример 2

Найти уравнение прямой, параллельной прямой y = 2x - 1 и проходящей через точку C(3, 4).

Так как искомая прямая параллельна прямой y = 2x - 1, то ее угловой коэффициент равен 2. Свободный член можно найти, зная, что прямая проходит через точку C. Подставляя значения координат точки C и найденный угловой коэффициент, получаем:

b = y1 - k * x1 = 4 - 2 * 3 = -2

Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид:

y = 2x - 2

Пример 3

Найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой y = -3x + 2 и проходящей через точку D(1, -1).

Так как искомая прямая перпендикулярна прямой y = -3x + 2, то ее угловой коэффициент равен -1/(-3) = 1/3. Свободный член можно найти, зная, что прямая проходит через точку D. Подставляя значения координат точки D и найденный угловой коэффициент, получаем:

b = y1 - k * x1 = -1 - (1/3) * 1 = -4/3

Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид:

y = (1/3)x - 4/3

Общее уравнение прямой в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана различными способами, одним из которых является общее уравнение прямой. Общее уравнение прямой в пространстве имеет вид:

(x - x₀) / a = (y - y₀) / b = (z - z₀) / c

где (x₀, y₀, z₀) - координаты точки, через которую проходит прямая, а a, b, c - направляющие косинусы прямой.

Общее уравнение прямой в пространстве позволяет найти координаты любой точки на этой прямой, зная координаты точки, через которую она проходит, и направляющие косинусы. Также по общему уравнению можно определить угол между двумя прямыми в пространстве.

Для примера, рассмотрим прямую, проходящую через точку A(1, 2, 3) и имеющую направляющие косинусы a = 2, b = -1, c = 3. Тогда общее уравнение прямой будет иметь вид:

(x - 1) / 2 = (y - 2) / -1 = (z - 3) / 3

Таким образом, любая точка на этой прямой может быть найдена, подставив соответствующие значения в общее уравнение.