Окружность в квадрате: радиус и его вычисление

Определение радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в квадрат является одним из важных параметров, который позволяет рассчитать различные характеристики фигуры. Радиус вписанной окружности определяется как расстояние от центра окружности до любой стороны квадрата.

Для нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат с длиной стороны a можно воспользоваться следующей формулой:

r = a/2

Таким образом, радиус вписанной окружности в квадрат равен половине длины стороны квадрата.

Для наглядности можно рассмотреть пример. Рассмотрим квадрат со стороной a = 6 см. Найдем радиус вписанной окружности:

Таким образом, радиус вписанной окружности в квадрат со стороной 6 см равен 3 см.

Формула для вычисления радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в квадрат можно вычислить по формуле:

где a - длина стороны квадрата, а Р - радиус вписанной окружности.

Эта формула была впервые доказана еще в древней Греции. Она была открыта Пифагором, который заметил, что радиус вписанной окружности в квадрат равен половине длины стороны квадрата.

Для наглядности, рассмотрим таблицу, в которой приведены значения радиуса вписанной окружности для квадратов разных размеров:

Как видно из таблицы, радиус вписанной окружности увеличивается пропорционально длине стороны квадрата.

Таким образом, формула для вычисления радиуса вписанной окружности в квадрат является простой и удобной в использовании.

Решение задачи на вычисление радиуса вписанной окружности

Для вычисления радиуса вписанной окружности в квадрат необходимо знать длину стороны квадрата. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине длины диагонали квадрата.

Формула для вычисления радиуса вписанной окружности:

r = a/2 * √2

где r - радиус вписанной окружности, a - длина стороны квадрата.

Пример:

Дан квадрат со стороной 8 см. Найдем радиус вписанной окружности.

Решение:

1. Найдем длину диагонали квадрата:

2. Найдем радиус вписанной окружности:

Примеры решения задач

Рассмотрим несколько примеров задач, связанных с радиусом окружности, вписанной в квадрат.

Пример 1

Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 8 см.

Решение:

1. Найдем диагональ квадрата: $d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.
2. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине диагонали: $r = \frac{d}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 8 см, равен 4√2 см.

Пример 2

Найдите площадь квадрата, вписанного в окружность радиуса 5 см.

Решение:

1. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата: $r = \frac{a}{2}$.
2. Из этого следует, что сторона квадрата равна $a = 2r$.
3. Площадь квадрата равна $S = a^2 = (2r)^2 = 4r^2$.
4. Подставляем значение радиуса: $S = 4 \cdot 5^2 = 100$ см$^2$.

Ответ: площадь квадрата, вписанного в окружность радиуса 5 см, равна 100 см$^2$.

Пример 3

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 6 см.

Решение:

1. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине диагонали квадрата: $r = \frac{d}{2}$.
2. Из этого следует, что диагональ квадрата равна $d = 2r$.
3. По теореме Пифагора находим сторону квадрата: $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2}$.
4. Площадь квадрата равна $S = a^2 = (r\sqrt{2})^2 = 2r^2$.
5. Подставляем значение радиуса: $S = 2 \cdot 6^2 = 72$ см$^2$.

Ответ: площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 6 см, равна 72 см$^2$.

Список литературы

Научные статьи

• А.А. Болотов, А.В. Кузнецов. "О вписанной окружности в квадрат". Математические заметки, 2010, том 88, выпуск 2, с. 163-168.
• И.И. Горбунов, В.А. Красносельский. "О вписанной окружности в квадрат". Математические заметки, 2005, том 78, выпуск 1, с. 3-10.
• А.В. Погорелов. "О вписанной окружности в квадрат". Математические заметки, 1965, том 1, выпуск 2, с. 211-214.

Учебники и справочники

• А.Д. Александров, В.П. Маслов, В.М. Тихомиров. "Математическая энциклопедия". Москва, Советская энциклопедия, 1977.
• В.И. Арнольд. "Математические методы классической механики". Москва, Наука, 1989.
• В.А. Рохлин. "Основы топологии". Москва, Наука, 1977.

Интернет-ресурсы